[Verallgemeinerung der reduziblen Mengen] [Studien]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 48: Fasz.995

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[Bonn], 06.01.1934. - 15 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: Bll.1-7 (mit Bogennummern a-b): Im Raum $E$ sei $\calN$ ein System von Mengen $N$ mit denselben Eigenschaften wie die abgeschlossenen Mengen, d.h. $E$ und $\emptyset$ sind $N$, Vereinigung endlich vieler und Durchschnitt beliebig vieler $N$ sind $N$. Dann kann die Theorie der gewöhnlichen reduziblen Mengen nachgebildet werden zu einer Theorie der $\calN$-reduziblen Mengen; diese sind aus Mengen $N$ gebildete höchstens abzählbare Differenzenketten. Hausdorff gibt eine Konstruktion für Bildung von Systemen $\calN$: Ist $E = \sumi \in I Pi, \; Pi$ paarweise disjunkt und $N$ seien die Mengen der Form \[ (\alpha) \; \; N = \sumi \in I PiFi \], $Fi$ abgeschlossen. Für separables $E$ und höchstens abzählbares System $Pi$ bilden die Mengen $N$ der Form ($\alpha$), die einem gegebenen $\delta$-Ring $\calN0$ angehören, schon ein System $\calN$ der vorausgesetzten Art. Über diese Raumzerlegungen $E = \sum Pi$ versucht Hausdorff, für eine abzählbare Differenzenkette $M = \sum\xi (A2 \xi +1-A2 \xi + 2)$, wo $A1 \supseteq A2 \supseteq \cdots \supseteq A\omega +1 \supseteq \cdots $ einem $\delta$-Ring $\calN0$ angehören und schließlich verschwinden, zu einer eindeutigen Darstellung von $M$ als Differenzenkette aus $\calN0$ zu gelangen. Das gelingt jedoch nicht. Bll.8-12: Bemerkungen zur Konstruktion von $A'$ (s.Bll.13-15). Bll.13-15: $\calN$ sei ein $\delta$-Ring, der die leere Menge enthält. Hausdorffs Versuche, die reduziblen Mengen zu verallgemeinern, bewegten sich in folgende Richtung: Jeder Menge $A$ wird ein Mengenpaar $N, N'$ aus $\calN$ zugeordnet, so daß $N = A \cup N'$, also mit $A' = A \cap N'$ gilt $N-A=N'-A', \; N-N'=A-A'$ und $A'$ sei überdies die kleinste in $A$ abgeschlossene Menge dieser Art. Mit $A0=A, \; A\xi +1 = (A\xi)', \; A\eta = \cap\xi ( \eta A\xi$ für $\eta$ Limeszahl wird ein kleinstes $\eta ( \omega1$ gefunden mit $A\eta = A\eta +1 = \cdots $; ist dies leer, so heißt $A$ reduzibel und kann in der Form $A = \sum\xi (N2 \xi +1-N2 \xi +2)$ dargestellt werden, wobei $N\xi \cap A$ in $A$ abgeschlossen ist (*). Der Durchschnitt zweier Differenzenketten mit Nebenbedingung (*) ist zwar wieder eine solche; beim Komplement kann man das nicht zeigen. Hausdorffs Fazit ist deshalb: \glqq Man muss also wohl diese Versuche aufgeben. \grqq (Bl.15)

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Die Faszikeln 995-1004 sind von Hausdorff, im wesentlichen in zeitlich rückläufiger Reihenfolge, in einer Mappe unter der Überschrift \glqq Verallgemeinerung der reduciblen Mengen \grqq~ zusammengefaßt. Vgl.insbes.Fasz.1002. 

Ausreifungsgrad: Hs.Ms. 

Pfad: Nachlass Hausdorff

[Inventarnr.: Hs. 1980/4 (Frühere Signatur)]

DE-611-HS-2708439, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2708439

Erfassung: 10. März 1995 ; Modifikation: 18. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2025-07-08T16:28:07+01:00

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