Bairesche Abbildungen [Studie, Fragment]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 48: Fasz.1057

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[Bonn]. - 12 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: Zunächst werden folgende Bezeichnungen eingeführt: Die Mengen $R$ mögen einen Ring $(R)$ bilden. Dann seien die $R\sigma$ die Vereinigungen, die $R\delta$ die Durchschnitte je abzählbar vieler der $R$, $R\mu$ die Mengen aus $(R\sigma) \cap (R\delta)$ und $R\lambda$ die Limites konvergenter Folgen von Mengen $R$. $X,Y$ seien metrische Räume; es wird die Gesamtheit der eindeutigen Abbildungen $\varphi$ von $X$ in $Y$ betrachtet. $M \subseteq X$ durchlaufe ein Mengensystem $(M)$, $N$ durchlaufe die Komplemente $X-M$. Hausdorff hat in [45], S.267 bewiesen, daß der Limes einer konvergenten Folge von Funktionen der Klasse $(M)$ von der Klasse $(N\delta \sigma)$ ist. Das ist i.a. nicht umkehrbar; im vorl.Fasz. wird die Umkehrbarkeit unter einschränkenden Voraussetzungen untersucht: $Y$ sei nämlich endlich oder separabel. $(R)$ sei ein Körper, dem $X$ angehört. Dann werden u.a.folgende Sätze bewiesen: (1) Jede isolierte Funktion $\varphi$ der Klasse $(R\lambda)$ ist Limes einer konvergenten Folge endlicher Funktionen der Klasse $(R)$; (2) Jede Funktion der Klasse $(R\sigma)$ ist Limes einer gleichmäßig konvergenten Folge von isolierten Funktionen der Klasse $(R\mu)$; (3) Jede Funktion der Klasse $(R\delta \sigma)$ ist Limes einer gleichmäßig konvergenten Folge von isolierten Funktionen der Klasse $(R\lambda)$; (4) Die Mengen $M subseteq X$ mögen einen Ring bilden, $N=X-M$ seien ihre Komplemente; jedes $M$ sei ein $N\sigma$, jedes $N$ ein $M\delta$. Dann ist jede Funktion der Klasse $(M\delta \sigma)$ Limes einer konvergenten Folge endlicher Funktionen der Klasse $(N\sigma)$; (5) Für $0( \eta ( \Omega$ ($\Omega$: Anfangszahl der 3.Zahlklasse) sind die Funktionen der Klasse $(M^\eta +1)$ identisch mit den Limites konvergenter Folgen von Funktionen der Klassen $(M^\xi +1)$ ($\xi ( \eta$). Es folgen noch Bemerkungen zu reellen Funktionen.

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Die Faszikeln 1057-1059 sind von Hausdorff in eine Mappe mit der Aufschrift \glqq Borelsche Mengen. Differenzenketten (ensembl. développ.) Homöomorphie d.Kl. $\alpha, \beta$. Borelsche und Bairesche Funktionen (Banach). Nichtseparable Räume \grqq ~ eingelegt. In diese Mappe gehörten ursprünglich auch die Faszikeln 618-620. Fasz.1057 hat neben der Überschrift den Vermerk \glqq Banach \grqq. Das bezieht sich vermutl. auf S.Banach \glqq Über analytisch darstellbare Operationen in abstrakten Räumen \grqq, Fundamenta Math. 17 (1931), S.283-295. Das Ms.ist bogenweise numeriert: 1-3, entspr.Bll.1-12. Es bricht auf Bl.12 mitten im Satz ab. 

Ausreifungsgrad: Hs.Ms. 

Pfad: Nachlass Hausdorff

[Inventarnr.: Hs. 1980/4 (Frühere Signatur)]

DE-611-HS-2708502, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2708502

Erfassung: 5. April 1995 ; Modifikation: 18. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2025-07-08T16:29:23+01:00

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