Das Problem der Bestimmtheit [Studie, Fragment]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 45: Fasz.937

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[Greifswald, Bonn]. - 37 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: Bll.1-24: Definition der Begriffe \glqq Bestimmtheitsstelle \grqq und \glqq Unbestimmtheitsstelle \grqq für eine Lösung des Momentenproblems; die zu einer Momentfolge gehörigen zu $x, \cdots ,x^n$ orthogonalen Polynome $gn(x), (gn(0)=1)$; $\deltan = Mgn(x)^2, \delta = \lim \deltan$. Es werden folgende Sätze bewiesen: (1) Es gibt eine Lösung des Momentenproblems, die an der Stelle $0$ den Sprung $\delta$ macht. (2) Die Stelle $0$ ist Bestimmtheitsstelle oder Unbestimmtheitsstelle, je nachdem $\delta =0$ oder $\delta )0$. (3) Das Momentenproblem ist dann und nur dann bestimmt, wenn es höchstens abzählbar viele Unbestimmtheitsstellen gibt. (4) Wenn es auch nur eine Bestimmtheitsstelle gibt, so ist das Momentenproblem bestimmt. Hausdorff führt folgende Sprechweise ein: Wenn für eine stetige Funktion $f(x)$ das Integral $\int-\infty^\infty f(x) d\psi(x)$ für alle Lösungen $\psi$ des Momentenproblems einen und denselben (nur von $f$ und der gegebenen Momentfolge abhängenden) Wert hat, so wird dieser Wert mit $Mf(x)$ bezeichnet und man sagt, $Mf(x)$ ist bekannt. Z.B.sind für $\delta =0$ bekannt: $M \frac1(x^2+ \alpha)^k, M \fracxx^2+ \alpha)^k$ für $\alpha ) 0, k=1,2, \cdots $, ferner $Mf$ für stetiges $f$ mit $f(\infty) = f(-\infty)$. Sind $fn$ die zur Momentfolge gehörigen Orthogonalpolynome (vgl.Fasz.870) und $bn = (Mfn(x)^2)^-1$. Das Momentenproblem ist bestimmt, wenn $\sum0^\infty bn(fn(0))^2$ divergiert. Es folgen drei Beispiele bestimmter Momentenprobleme und ein Beispiel von Stieltjes für ein unbestimmtes Problem. Schließlich wird die Bestimmtheit des Momentenproblems für die Poissonverteilung untersucht. Bll.25-37 unter der Überschrift \glqq §7. Convergenz von Vertheilungsfolgen \grqq: Es werden folgende Sätze bewiesen:(1) $\psi(x)$ sei eine Verteilung mit unendlich vielen Wachstumsstellen, $\xi$ eine Bestimmtheitsstelle, $\psin$ eine Folge von Verteilungen, deren Momente $Mnx^k = \int-\infty^\infty x^kd\psin$ gegen die Momente $\muk = Mx^k = \int-\infty^\infty x^kd\psi(x)$ konvergieren.Dann konvergiert $\psin(\xi)$ gegen $\psi(\xi)$. (2) $\psi(x)$ sei eine stetige Verteilung mit bestimmtem Momentenproblem, $\psin(x)$ eine Folge von Verteilungen, deren Momente nach denen von $\psi(x)$ konvergieren. Dann konvergiert $\psin(x)$ nach $\psi(x)$, und zwar für alle $x$ gleichmäßig. (3) $\psin(x)$ sei eine Folge von Verteilungen mit $\psin(\infty) = 1$, deren logarithmische Momente $\lambdak^n$ sämtlich nach $0$ konvergieren bis auf $\lambda2^n \rightarrow \frac12h^2$. Dann konvergiert $\psin(x)$ gleichmäßig nach $\psi(x) = \frac1h \sqrt\pi \int-\infty^x e^-h^2t^2dt$. Es folgen Betrachtungen über unabhängige Zufallsgrößen und deren Summen und der Beweis des zentralen Grenzwertsatzes mit der Momentenmethode. Als Beispiele die Grenzwertsätze von Poisson und Bernoulli, schließlich die Umkehrung des Bernoullischen Satzes aufgrund der Bayesschen Regel. Schließlich wird ein Beispiel einer Summe unabhängiger Zufallsgrößen betrachtet, deren Grenzverteilung nicht die Normalverteilung, sondern $\psi(x) = \frac1\pi \int-\infty^x \fracdt\cosh t$ ist.

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Vgl.Bem.bei Fasz.936. Bll.25-37 haben in einer Paragraphennumerierung die Nummer 7, sind also aus einem anderen Ms.hier eingelegt. Der Beginn bezieht sich auf Lösungen des Momentenproblems, die in dem Ms.nicht gegeben werden. Die Satznumerierung beginnt mit V. Vgl.auch Fasz.870. 

Ausreifungsgrad: Hs.Ms. 

Pfad: Nachlass Hausdorff

[Inventarnr.: Hs. 1980/4 (Frühere Signatur)]

DE-611-HS-2709568, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2709568

Erfassung: 7. Februar 1995 ; Modifikation: 18. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2025-07-08T16:21:34+01:00

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