Lipschitzsche Zahlensysteme [Studie]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 46: Fasz.971

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[Bonn]. - 30 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: Bll.1-2: \glqq §1. Automorphismen \grqq: Zusammenstellung früherer Ergebnisse über die Automorphismen von Lipschitzalgebren (vgl.Fasz.955-956). Bll.2-6: \glqq §2. Orthogonale Vektoren \grqq: Zwei Vektoren $x,y \in Ln$ heißen orthogonal, wenn $x \overliney+y \overlinex=0$ ist. Je $k$ reguläre paarweise orthogonale Vektoren sind linear unabhängig ($k \leq n+1$). Man kann ein System von $k+1$ regulären paarweise orthogonalen Vektoren zu einem ebensolchen von $n+1$ Vektoren ergänzen. Das alternierende Produkt von $n+1$ regulären paarweise orthogonalen Vektoren ist $= \alpha j$ ($\alpha$ skalar, $j$ das Produkt der Grundeinheiten). Bll.7-9: \glqq §3. Bilineare Zahlen \grqq: $z \in Ln$ mit $z=u+v, \;u$ homogen von erster Ordnung, $v$ homogen von zweiter Ordnung, heißt bilinear. Eine bilineare Zahl ist genau dann Produkt zweier Vektoren, und zwar alternierendes Produkt zweier orthogonaler Vektoren, wenn ihre Norm skalar ist. Bll.9-15: \glqq §4. Systeme von bilinearen Zahlen (in $Ln$) \grqq (vgl.dazu Fasz.969): Es seien $m$ bilineare Zahlen $zi$ mit $zizk+zkzi=0 \; (i \neq k)$ gegeben ($n \geq m \geq 2, m \neq 3$). Ihre Quadrate $zi^2$ seien skalar ($= \taui \neq 0$). Dann ist $zi = \overliner0ri$ mit $m+1$ orthogonalen regulären Vektoren $r0, \cdots ,rm$. Bll.15-18: \glqq §5. Transformatoren \grqq: Begriff des Transformators und Beweis notwendiger und hinreichender Bedingungen dafür, daß eine reguläre Zahl $\in Ln$ ein Transformator ist. Bll.19-24: \glqq §6. Transformatorkomponenten \grqq: Für $Ln$ reell reduzibel, $n$ ungerade $\geq 5$, wird die Komponentenzerlegung wie in [33], §3 betrachtet. Gibt es einen Transformator $P=(A,B)$, so heißt $A$ Transformatorkomponente. Es war Hausdorff in [33] nur für $n=4m+1$ gelungen, einfache notwendige und hinreichende Bedingungen dafür anzugeben, daß $A$ Transformatorkomponente ist. Er schrieb in [33] über den Fall $n=4m-1$: \glqq Da es mir aber bisher nicht gelungen ist, die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für eine Transformatorkomponente $A$ und die Bestimmung der zweiten Komponente $B$ auf eine ebenso einfache Form zu bringen wie im Falle $n=4m+1$, so will ich die Mitteilung der gefundenen Ergebnisse unterlassen. \grqq ([33], S.127). Im vorl. Ms.findet Hausdorff solche einfachen Bedingungen: Damit eine gerade reguläre Zahl $A$ Transformatorkomponente sei, ist notwendig und hinreichend, daß für jeden reinen Vektor $x$ gilt $\frac1AxA = u+jv$, $u$ von erster, $v$ von zweiter Ordnung. Für $n=7$ muß man noch $uv+vu=0$ verlangen, für die übrigen $n$ ist das von selbst erfüllt. Diese Ausnahmestellung des Falles $n=7$ gibt Hausdorff Anlaß für zahlreiche Versuche, entweder zu zeigen, daß auch bei $n=7$ $uv+vu=0$ erfüllt ist, oder aber ein Gegenbeispiel zu konstruieren. Diese Versuche beginnen im vorl.Ms. Bll.25-30 (vgl.auch Fasz.975-979).

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Vgl.Bem.bei Fasz.969. Das Ms.ist eine zusammenfassende Ausarbeitung mit einer Einteilung in Paragraphen, die Hausdorff nur bei Veröffentlichungsmanuskripten vorzunehmen pflegte. Es ist bogenweise numeriert: I-VI, entspr.Bll.1-24; Bll.25-30 haben keine Bogennummern. 

Ausreifungsgrad: Hs.Ms. 

Pfad: Nachlass Hausdorff

[Inventarnr.: Hs. 1980/4 (Frühere Signatur)]

DE-611-HS-2709606, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2709606

Erfassung: 20. Februar 1995 ; Modifikation: 18. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2025-07-08T16:22:18+01:00

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