Doppelfolgen [Studie]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 48: Fasz.1029

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[Bonn]. - 28 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: Es wird die Übertragung der Theorie aus [27],I, auf Doppelfolgen angestrebt. Zunächst werden notwendige und hinreichende Bedingungen an $\lambdamn^pq$ dafür angegeben, daß die Transformation (1): $ypq = \summn \lambdamn^pq xmn$ jede konvergente Doppelfolge $xmn$ in eine wiederum konvergente Doppelfolge $ypq$ verwandelt. Es folgen notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß die Transformation (1) jede beschränkte konvergente Doppelfolge $xmn$ in eine wiederum beschränkte konvergente Doppelfolge $ypq$ verwandelt. Diese sind (A) $\summn \mid \lambdamn^pq \mid = Lpq$ konvergent, (B)$\; Lpq \leq L$ beschränkt, (C)$\; \limpq \lambdamn^pq = lmn$ und $\limpq \summn \lambdamn^pq = l$ existieren, (D) $\limpq \nu \sumn= \nu +1^\infty \mid \lambdamn^pq \mid = \limpq \mu \summ= \mu +1^\infty \mid \lambdamn^pq \mid =0$. Letzterer Satz ist ein Analogon zum Toeplitzschen Permanenzsatz für einfache Folgen. Es werden dann Differenzen für Doppelfolgen betrachtet und die Form einer linearen Beziehung (1) zwischen zwei Doppelfolgen ermittelt, die sich in den Differenzen multiplikativ darstellt. Zur Multiplikatordoppelfolge $\mumn$ gehören dann (analog dem Vorgehen bei einfachen Folgen, s.[27],I, S.80ff) gewisse $\lambdamn^pq$. $\mumn$ heißt total monoton, wenn alle $\lambdamn^pq \geq 0$ sind, sie heißt eine B-Folge, wenn für die $\lambdamn^pq$ die Bedingung (B) erfüllt ist. Wenn (A)-(D) erfüllt sind, heißt sie eine $C$-Folge (konvergenztreue Folge). Eine reelle B-Folge ist Differenz zweier totalmonotoner Folgen. Hinreichend und notwendig dafür, daß eine B-Folge auch $C$-Folge ist, ist $\limp \lambdamn^pq = \limq \lambdamn^pq = lmn$ mit obigem $lmn$ aus (C). Für $l00=0$ ist sie nulltreu.

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Die Faszikeln 1029-1042 sind in einer Mappe unter dem Titel \glqq Doppelfolgen \grqq zusammengefaßt. G.Bergmann datiert sie auf den Zeitraum 1923-ca.1932. Das vorl.Ms.ist bogenweise numeriert: 1-8, entspr.Bll.1-28. 

Ausreifungsgrad: Hs.Ms. 

Pfad: Nachlass Hausdorff

[Inventarnr.: Hs. 1980/4 (Frühere Signatur)]

DE-611-HS-2708469, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2708469

Erfassung: 16. März 1995 ; Modifikation: 18. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2025-07-08T16:28:44+01:00

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