[Sprünge, Sprungsummen] [Studien]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 31: Fasz.145

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[Greifswald, Bonn], 13.03.1921-03.01.1941. - 15 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: Bll.1-4 (vom 23.6.1921) unter dem Titel \glqq Funktionen mit rechts- und linksseitigen Grenzwerten \grqq: Es werden reelle Funktionen $f(x)$ in $[0,1]$ betrachtet, für die $f(x+0)$ und $f(x-0)$ überall existieren. Die Sprungfunktion $\delta(x) = f(x+0)-f(x-0)$ ist dann an höchstens abzählbar vielen Stellen $xn$ von Null verschieden und es ist $\delta(xn) \rightnarrow 0$. Beweis der Umkehrung: Sei $x1,x2,\cdots$ eine abzählbare Menge in $(0,1)$ und $\deltan \neq 0$ eine Zahlenfolge mit $\deltan \rigthnarrow 0$, so gibt es eine linksstetige Funktion $f(x)$, die an $x \neq xn$ auch rechtsstetig ist und an $xn$ den Sprung $\deltan$ macht. Auf Bl.4 befindet sich eine Notiz vom 3.1.1941, in der ein Zusammenhang zur Denjoyschen Totalisation von Reihen und Funktionen hergestellt wird. Bll.5 (vom 13.3.1921) u.6-7 (vom 10.6.1921) unter der Überschrift \glqq Summen von beliebigem Ordnungstypus \grqq: Bl.5 sind Probleme aufgelistet, die auf Summen von Sprüngen führen (ein Problem mit Datierung 4.11.1934), z.T. mit Kommentaren wie \glqq sehr schwierig damit zu arbeiten \grqq, \glqq Nicht aussichtslos \grqq, \glqq Noch schwieriger \grqq. 6-7: Hausdorff versucht Summen der Art $\sumT an$ zu definieren, wo $T$ eine beliebige abzählbare geordnete Menge ist. Er stellt dafür 5 Axiome auf und behandelt drei Beispiele; es werden im Anschluß an das dritte Beispiel offene Fragen formuliert, z.B. über den Zusammenhang zur Perronschen Integration oder zur Baireschen Klassifikation. Bll.8-10 (ohne Datum) unter der Überschrift \glqq Bedingt konvergente Summen \grqq: $f(x)$ sei eine reelle Funktion, für die für jedes $\delta )0$ die Menge $x; \mid f(x) \mid \geq \delta$ endlich ist. Das Problem ist, wie man die Summe der in das Intervall $a \leq x (b$ fallenden von Null verschiedenen Werte von $f(x)$ definieren kann. Es werden verschiedene Möglichkeiten und ihre gegenseitigen Beziehungen erörtert. Bll.11-15 (ohne Datum, ohne Überschrift): Ist $f(x)$ eine in $[0,1)$ monoton wachsende Funktion und $\alpha )1$; $\sigma\alpha$ sei die untere Grenze von $\sumi=1^n (f(xi-f(xi-1)^\alpha$ über alle Intervallteilungen $xi$. Dann ist $\sigma\alpha$ die Summe der $\alpha$-ten Potenzen der Sprünge von $f(x)$. Für beliebige reelle Funktionen in $[a,b]$ seien $X\alpha , \delta, Y\alpha , \delta$ die untere bzw. die obere Grenze von $\sumi=1^n \mid f(xi-f(xi-1 \mid ^\alpha$ über alle Intervallteilungen $xi-xi-1 \leq \delta$. Es werden verschiedene Sätze über $lim\delta \rigthnarrow \infty X\alpha, \delta$ bzw. $lim\delta \rigthnarrow \infty Y\alpha, \delta$ bewiesen, z.B. für den Fall, daß $f$ eine stetige Funktion beschränkter Schwankung ist.

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Es handelt sich um verschiedene Studien, die sich um die Themen \glqq Sprünge reeller Funktionen, Summen von Sprüngen \grqq gruppieren; sie sind lt. G.Bergmann von Hausdorff selbst zu einem Faszikel zusammengefaßt worden. 

Ausreifungsgrad: Hs.Ms. 

Pfad: Nachlass Hausdorff

[Inventarnr.: Hs. 1980/4 (Frühere Signatur)]

DE-611-HS-2708690, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2708690

Erfassung: 19. April 1994 ; Modifikation: 18. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2025-07-08T16:33:02+01:00

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