Zusammenhängende und lokal zusammenhängende Räume [Studien]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 37: Fasz.488

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[Bonn]. - 20 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: Bll.1-3: Hausdorff betrachtet 3 Eigenschaften eines Raumes $E$: $(\alpha)$ $E$ ist einfach zusammenhängend, d.h. aus $E = C1 \cup C2, \; C1, C2$ Kontinua, folgt $C1 \cap C2$ ist ein Kontinuum. $(\beta)$ Ist $C$ ein Kontinuum, $G$ eine Komponente von $E-C$, so ist deren Begrenzung $Gg$ ein Kontinuum. $(\gamma)$ Jede abgeschlossene Menge $F$, die $x1, x2$ trennt, enthält ein Kontinuum, das $x1, x2$ trennt. Ist $E$ zusammenhängend und lokal zusammenhängend, so sind diese drei Eigenschaften äquivalent. Bll.4-6: $(\delta)$ sei folgende Eigenschaft eines Raumes $E$: $F1, F2$ seien abgeschlossene disjunkte Mengen, $x1,x2 \in E-(F1+F2)$. Wenn $x1,x2$ weder durch $F1$ noch durch $F2$ getrennt werden, so auch nicht durch $F1+F2$. $(\gamma) \rightarrow (\delta)$ für jeden Raum, $(\delta) \rightarrow (\gamma)$ bei kompaktem $E$. $(\delta) \rightarrow (\alpha)$ in jedem zusammenhängenden Raum. Bll.7-12: $E$ hat die Fixpunkteigenschaft, wenn bei jeder stetigen Abbildung von $E$ in sich mindestens ein Fixpunkt existiert. Dann gilt: Ist $E$ ein Streckenbild (d.h. ein kompaktes lokal zusammenhängendes Kontinuum) mit Fixpunkteigenschaft, dann ist $E$ einfach zusammenhängend (und damit gilt auch $(\beta), (\gamma), (\delta)$). Ein $n$-dimensionales Simplex ist einfach zusammenhängend. Der $R^{n}$ hat zwar die Fixpunkteigenschaft nicht, aber trotzdem die Eigenschaften $(\alpha)-(\delta)$. Die Kugelfläche im $R^{n+1}$ ist für $n \geq 2$ einfach zusammenhängend. Bll.13-14: Verallgemeinerung eines Satzes von Nikodym über lokal zusammenhängende Räume (S.Nikodym \glqq Sur quelques propriétés des ensembles patout localement connexes \grqq, Fundamenta Math. 12 (1928), S.240-243). Bll.14-20: $(\delta)$ wird zu folgender Eigenschaft $(\epsilon)$ verschärft: $(\epsilon)$ $F1, F2$ seien abgeschlossen, ihr Durchschnitt sei leer oder ein Kontinuum. Wenn $x1,x2 \in E-(F1 \cup F2)$ weder durch $F1$ noch durch $F2$ getrennt werden, so auch nicht durch $F1 \cup F2$. $(\zeta)$ sei folgende Eigenschaft: $C$ sei ein Kontinuum, $E-C$ zusammenhängend oder leer, dann ist $C$ einfach zusammenhängend. Es gelten folgende Sätze: (1) Ist $E$ ein Streckenbild, so sind $(\epsilon)$ und $(\zeta)$ äquivalent; (2) Die Kugeloberfläche $x1^{2}+x2^{2}+x3^{2} = 1$ hat die Eigenschaften $(\epsilon),(\zeta)$.

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Vgl.Bem.bei Fasz.459. Nach der Überschrift folgt die Bemerkung \glqq (Kuratowski, verschiedene Arbeiten; Ergänzungen von mir) \grqq. Hausdorff bezieht sich auf folgende Arbeiten von C.Kuratowski: \glqq Sur les continus de Jordan et le théorème de M.Brouwer \grqq, Fundamenta Math. 8 (1926), S.137-150; \glqq Une caractérisation topologique de la surface de la sphère \grqq, Fundamenta Math. 13 (1929), S.307-318; \glqq Sur quelques théorèmes fondamentaux de l'Analysis situs \grqq, Fundamenta Math. 14 (1929), S.304-310, und B.Knaster, C.Kuratowski, S.Mazurkiewicz: \glqq Ein Beweis des Fixpunktsatzes für $n$-dimensionale Simplexe \grqq, Fundamenta Math. 14 (1929), S.132-137; B.Knaster, C.Kuratowski \glqq Sur les ensembles connexes \grqq, Fundamenta Math. 2 (1921), S.206-255. Das Ms. ist bogenweise numeriert: $\alpha - \epsilon$, entspr. Bll.1-20. 

Ausreifungsgrad: Hs.Ms. 

Pfad: Nachlass Hausdorff

[Inventarnr.: Hs. 1980/4 (Frühere Signatur)]

DE-611-HS-2709063, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2709063

Erfassung: 8. September 1994 ; Modifikation: 18. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2024-12-09T12:05:06+01:00

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