Integral und Maß [Vorlesungsausarbeitung,Fragment]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 37: Fasz.496

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[Bonn]. - 57 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: Bll.1-28 unter der Überschrift \glqq Das Integral als Zuwachs der Stammfunktion \grqq: Eigenschaften, die von einer sinnvollen Definition des bestimmten Integrals verlangt werden; Unterscheidung der verschiedenen Integralbegriffe nach den Stetigkeitsforderungen (d.h. wann gilt $\lim \inta^{b} fndx = \inta^{b} \lim fndx$);das Integral als Zuwachs der Stammfunktion; Stetigkeitseigenschaften dieses Integrals; Approximationssatz von Weierstraß; Folgerung: Jede in $[a,b]$ stetige Funktion ist eine Ableitung; weitere Eigenschaften von Ableitungen; differenzierbare Funktionen, deren Ableitung in einer dichten Menge verschwindet, ohne in einem noch so kleinen Intervall zu verschwinden; differenzierbare Funktionen, die in keinem Intervall monoton sind (Koepcke-Funktionen); verallgemeinerte Stammfunktion ($F(x)$ in $[a,b]$ stetig und $F'(x)=f(x)$ bis auf höchstens abzählbar viele Stellen); Satz von Scheefer (ist $F(x)$ in $[a,b]$ stetig, $F(a)\neq F(b)$, so ist $F'(x)\neq 0$ an überabzählbar vielen Stellen); Folgerung: Sei $F(x)$ in $[a,b]$ stetig, $C = {x; F'(x)=0}, D=[a,b]-C$, ist dann $D$ höchstens abzählbar, so ist $F$ konstant, d.h. $D=\emptyset$; Diskussion der Frage, ob sich dieser Satz verallgemeinern läßt, z.B. ob aus \glqq $D$ von erster Kategorie \grqq oder \glqq $D$ vom Maß 0 \grqq auch $D=\emptyset$ folgt: Hausdorff zeigt, daß das nicht der Fall ist. Bll.29-44 unter der Überschrift \glqq Das Riemannsche Integral \grqq: Definition; Zusammenhang zum Integral als Zuwachs der Stammfunktion; Integrabilitätskriterium; Schwankung einer Funktion in einem Punkt, andere Form der Integrabilitätsbedingungen; Klassen integrabler Funktionen; Stetigkeitseigenschaften des R-Integrals (Satz von Arzelà); Zusammenhang zum Inhaltsbegriff. Bll.45-57 unter der Überschrift \glqq Zurückführung der Integrale auf Maße. Meßbare Funktionen \grqq: Definition der meßbaren Funktionen, Eigenschaften; Zurückführung des Integrals auf das Maß; Integrale über Teilmengen; das Integral als absolut-additive Mengenfunktion; Integralfunktion $F(x)$ einer Funktion $f(x)$.

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Vgl.Bem.bei Fasz.489. Das Ms.ist bogenweise numeriert:12-26, entspr.Bll.1-57. Auf Bl.29 wird explizit von einer Vorlesung gesprochen. 

Ausreifungsgrad: Hs.Ms. 

Pfad: Nachlass Hausdorff

[Inventarnr.: Hs. 1980/4 (Frühere Signatur)]

DE-611-HS-2709075, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2709075

Erfassung: 13. September 1994 ; Modifikation: 18. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2025-05-22T15:48:43+01:00

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