Der moderne Integralbegriff [Vorlesung Univ. Bonn WS 1922/23]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 13: Fasz.43

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Bonn. - 210 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: Bl.1: Literatur. 2-11: \glqq §1.Das Integral als Zuwachs der Stammfunction \grqq~ (Definition für $F'(x)=f(x)$ in $(a,b)$; Fall, daß $F'(x)=f(x)$ in $(a,b)$ mit Ausnahme einer Menge $S$ gilt; Diskussion, welche Ausnahmemengen $S$ zulässig sind; Eigenschaften von Ableitungen, z.B. gleichmäßiger Limes von Ableitungen ist eine Ableitung; stetige Funktionen sind Ableitungen). 12-26: \glqq §2.Das Riemannsche Integral \grqq~ (Definition; verschiedene Formen der Integrabilitätsbedingungen; Klassen integrabler Funktionen; Verhältnis von R-Integral und Integral als Zuwachs der Stammfunktion). 27-58: \glqq §3.Inhalt und Mass \grqq~ (einführende Betrachtungen zum Flächeninhaltsproblem; äußerer Inhalt; äußeres Maß; Maßtheorie von Caratheodory nach C. Caratheodory: Vorlesungen über reelle Funktionen, Leipzig u. Berlin 1918; Jordanscher Inhalt; Lebesguesches Maß; Zusammenhang zwischen J-Inhalt und L-Maß; Existenz im Lebesgueschen Sinne nichtmeßbarer Mengen, Mächtigkeit der Klasse dieser Mengen; Problem der Erweiterungsmöglichkeit des L-Maßes auf alle beschränkten Mengen, Hausdorffsches Paradoxon). 59-74: \glqq §4.Das Lebesguesche Integral \grqq~ (meßbare Funktionen; Klassen meßbarer Funktionen; Konvergenzsätze für meßbare Funktionen, Satz von Jegorow; Definition des L-Integrals; Flächenmaß und Längenmaß; Integrabilitätskriterien; Konvergenzsätze für das L-Integral; das L-Integral als Funktion der oberen Grenze). 75-93: \glqq §5.Lebesguesches Integral und Stammfunktion \grqq~ (die vier Hauptderivierten; Meßbarkeit von Derivierten; Sätze über den Zusammenhang von Derivierten und ihren \glq Stamm \grq funktionen bzw. deren Differenzenquotienten; Derivation von L-Integralen, Existenz f.ü. einer integrablen Ableitung, Integration von Derivierten, Folgerungen). 94-105: \glqq §6.Funktionen beschränkter Schwankung und totalstetige Funktionen \grqq~ (Funktionen beschränkter Schwankung; die Variation von $F$ auf beliebigen Mengen; Totalstetigkeit; Totalstetigkeit ist notwendig und hinreichend, damit eine stetige Funktion beschränkter Schwankung ein Integral ist). 106-115: \glqq §7.Das Perronsche Integral \grqq~ (Unter- und Oberfunktionen von $f$, finite Funktionen; unteres und oberes Perron-Integral, Perron-Integrierbarkeit; L-integrable Funktionen sind P-integrabel; P-integrable nichtnegative Funktionen sind L-integrabel). 116-135: \glqq §8.Bedingt konvergente Integrale. Das Denjoysche Integral \grqq~ (Problem der Erweiterung eines Integralbegriffs; Dinische Erweiterung; Harnacksche Erweiterung; Denjoy-Integral; P-Integral ist ein Dinisches; Zusammenhang von Denjoyschem und Perronschem Integralbegriff). Inhalt der Anhänge: Anhang 1 (Bll.136-199) gibt einen Zugang zum Lebesgue-Integral beschränkter Funktionen nach W.H. Young, bei dem man nicht vorher die Maßtheorie entwickeln muß (über unterhalbstetige Majoranten und oberhalbstetige Minoranten sowie unteres und oberes L-Integral). Danach wird über oberes und unteres L-Integral der charakteristischen Funktion einer Menge das äußere und innere L-Maß eingeführt; es folgt die Zurückführung der Integrale auf Maße (alles auf der Geraden). Schließlich Erweiterung auf mehrfache Integrale und unbeschränkte Funktionen. Bll.200-210: Funktionen beschränkter Schwankung und totalstetige Funktionen (weicht nicht stark von Bll.94-105 ab).

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Gehalten auch WS 1927/28 in Bonn (Angabe Bl.1). Die Vorlesung ist von Hausdorff nur bogenweise numeriert: 0-34, entspr. Bll.1-135. In der Vorlesung vom WS 1927/28 wurden die Bögen 8-19 (Bll.27-74) und 25-27 (Bll.94-105) durch eine neue Version ersetzt. Diese folgt nach Bl.135: Bll.136-199, 200-210. 

Ausreifungsgrad: Hs. Vorlesungsmanuskript 

Pfad: Nachlass Hausdorff

DE-611-HS-2709127, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2709127

Erfassung: 30. November 1993 ; Modifikation: 17. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2025-07-08T16:42:26+01:00

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